Постройте график функции y х2 3х 2. Квадратичная и кубическая функции

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

Визуальное отображение вводимых функций
Построение очень сложных графиков
Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
Управление масштабом, цветом линий
Возможность построения графиков по точкам, использование констант
Построение одновременно нескольких графиков функций
Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Разделы: Математика

Тема: “Построение графика квадратной функции, содержащей модуль”.
(На примере графика функции у = х 2 - 6x + 3.)

Цель.

Исследовать расположение графика функции на координатной плоскости в зависимости от модуля.
Развить навыки построения графика функции, содержащей модуль.

Ход урока.

1. Этап актуализации знаний.

а) Проверка домашнего задания.

Пример 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

2. Координаты вершины параболы: х= - b/2а = - (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = - 6, А(3; -6).

4. Нули функции: у(х) = 0, х 2 - 6х + 3 = 0, D = 36 - 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x 1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 - ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

2.у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

3. у = |х + 1|. График функции рисунке 4.

Вывод.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {-1;0}.

2.Опирационно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х 2 - 6|x| + 3,

б) у = |х 2 - 6х + 3|.

Решение.

1.Построить график функции у = х 2 -6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

б) 1. Построить график функции у = х 2 - 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2.Построить графики функций:

а) у = |x 2 - 6|x| + 3|;

б) y = |x 2 - 6x + 3| - 3.

Решение.

1. График функции у = х 2 + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х 2 - 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

1. График функции у = х 2 - 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х - 6) + 3; б) у = х|x - 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x - 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х 2 + 6x + 3 при х < 0 для точек у(0) = 3, у(- 1) = - 4.

График функции на рисунке 9.

б) у = х |х - 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = - х 2 + 6х + 3 при х 6.

2. Координаты вершины параболы: х = - b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = - 4.

Строим график функции у = х 2 - 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль.

Группа 4.

Построить график функции:

а) у = х 2 - 5x + |x - 3|;

б) у = |x 2 - 5x| + x - 3.

Решение.

а) у = х 2 - 5х + |х - 3|, переходим к совокупности систем:

Строим график функции у = х 2 -6х + 3 при х 3,
затем график функции у = х 2 - 4х - 3 при х > 3 по точкам у(4) = -3, у(5) = 2, у(6) = 9.

График функции на рисунке 11.

б) у = |х 2 - 5х| + х - 3, переходим к совокупности систем:

Строим каждый график на соответствующем интервале.

График функции на рисунке 12.

Вывод.

Выяснили влияние модуля в каждом слагаемом на вид графика.

Самостоятельная работа.

Построить график функции:

а) у = |х 2 - 5х + |x - 3||,

б) у= ||x 2 - 5x| + х - 3|.

Решение.

Предыдущие графики отображаем относительно оси Ох.

Группа.5

Построить график функции: у =| х - 2| (|x| - 3) - 3.

Решение.

Рассмотрим нули двух модулей: x = 0, х – 2 = 0. Получим интервалы постоянного знака.

Имеем совокупность систем уравнений:

Строим график на каждом из интервалов.

График на рисунке 15.

Вывод. Два модуля в предложенных уравнениях существенно усложнили построение общего графика, состоящего из трех отдельных графиков.

Учащиеся записывали выступления каждой из групп, записывали выводы, участвовали в самостоятельной работе.

3. Задание на дом.

Построить графики функций с различным расположением модуля:

1. у = х 2 + 4х + 2;

2. у = - х 2 + 6х - 4.

4. Рефлексивно – оценочный этап.

1.Оценки за урок складываются из отметок:

а) за работу в группе;

б) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Трудное ли домашнее задание?

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }